Τύπος του Όιλερ

Ο τύπος του Όιλερ, που πήρε το όνομά του από τον Leonhard Euler, είναι ένας μαθηματικός τύπος στη μιγαδική ανάλυση που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της εκθετικής συνάρτησης με φανταστικό όρισμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Όιλερ για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

όπου e είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, i η φανταστική μονάδα, ενώ τα cos and sin συμβολίζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα x να δίνεται σε ακτίνια. Η παραπάνω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές cis(x) ("cosine plus i sine"). Ο τύπος του Όιλερ ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα x είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.

Ο τύπος του Όιλερ συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός Richard Feynman αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."

Ιστορία

Ο Johann Bernoulli παρατήρησε ότι

${\dfrac {1}{1+x^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{1-ix}}+{\dfrac {1}{1+ix}}\right)$

και εφόσον

$\int {\dfrac {dx}{1+ax}}={\dfrac {1}{a}}\ln \left(1+ax\right)+C,$

η παραπάνω εξίσωση μας λέει κάτι για τους μιγαδικούς λογαριθμούς, παρ' όλο που ο Bernoulli δεν προχώρησε σε υπολογισμό του ολοκληρώματος. Από την αλληλογραφία του Bernoulli με τον Euler (που επίσης γνώριζε την παραπάνω εξίσωση) προκύπτει ότι ο Bernoulli δεν κατανοούσε πλήρως τους μιγαδικούς λογαρίθμους. Ο Euler πρότεινε επίσης ότι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να έχουν απείρως πολλές τιμές.

Εν τω μεταξύ, ο Roger Cotes, το 1714, ανακάλυψε ότι

$ix=\ln \left(\cos x+i\sin x\right).$

($\ln$ είναι ο φυσικός λογάριθμος)

Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του 2iπ εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Γύρω στο 1740 ο Euler έστρεψε την προσοχή του από τους λογαρίθμους στην εκθετική συνάρτηση και κατέληξε στον τύπο που χρησιμοποιείται σήμερα και έχει το όνομά του. Δημοσιεύτηκε το 1748 και προέκυψε από τη σύγκριση των αναπτυγμάτων σε σειρά της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών εκφράσεων.

Κανένας από τους παραπάνω μαθηματικούς δεν είδε τη γεωμετρική ερμηνεία του τύπου. Η θεώρηση των μιγαδικών αριθμών ως σημεία του μιγαδικού επιπέδου περιγράφηκε 50 χρόνια αργότερα από τον Caspar Wessel.

Εφαρμογές στη θεωρία μιγαδικών αριθμών

Τρισδιάστατη απεικόνιση του τύπου του Euler. Βλέπε επίσης κυκλική πόλωση.

Ο συγκεκριμένος τύπος μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η συνάρτηση e^iφ είναι ένας μοναδιαίος μιγαδικός αριθμός, δηλαδή διαγράφει το μοναδιαίο κύκλο καθώς το φ παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς. Εδώ το φ είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει την αρχή των αξόνων με ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και ο θετικός πραγματικός ημιάξονας, μετρημένη σε ακτίνια και αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης e^z σε σειρά Taylor (όπου z είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων sin x και cos x για πραγματικούς αριθμούς x. Στην πραγματικότητα, η ίδια απόδειξη δείχνει ότι ο τύπος του Euler ισχύει ακόμα και για μιγαδικούς αριθμούς x.

Ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν μιγαδικό αριθμό γραμμένο σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο τύπος του Όιλερ μας παρέχει το μέσο για την μετατροπή των καρτεσιανών συντεταγμένων σε πολικές. Η πολική μορφή απλοποιεί τα μαθηματικά όταν χρησιμοποιείται στον πολλαπλασιασμό ή στις δυνάμεις μιγαδικών αριθμών. Κάθε μιγαδικός αριθμός z = x + iy, και ο μιγαδικός συζυγής του, z = x − iy, μπορούν να γραφούν ως

${\begin{aligned}&z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }\\&{\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=re^{-i\phi }\end{aligned}}$

όπου

$x=\mathrm {Re} \{z\}\,$ το πραγματικό μέρος

$y=\mathrm {Im} \{z\}\,$ το φανταστικό μέρος

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ το μέτρο του z

$\phi =\arg z=\,$ atan2(y, x) .

ϕ είναι το όρισμα του z, δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος z μετρημένη σε ακτίνια αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και μπορεί να διαφέρει κατά ακέραια πολλαπλάσια του 2π. Πολλά μαθηματικά κείμενα γράφουν θ = tan⁻¹(y/x) αντί για θ = atan2(y,x), αλλά η πρώτη εξίσωση απαίτει περαιτέρω προσδιορισμό όταν x ≤ 0. Αυτό συμβαίνει επειδή για πραγματικούς x, y που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, οι γωνίες των διανυσμάτων (x,y) και (-x,-y) διαφέρουν μεταξύ τους κατά π ακτίνια, αλλά έχουν την ίδια τιμή της tan(θ) = y/x.

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Όιλερ για να ορίσουμε το λογάριθμο ενός μιγαδικού αριθμού. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου (ως αντίστροφης συνάρτησης της εκθετικής) που λέει ότι

$a=e^{\ln(a)}\$

και επιπλέον ότι

$e^{a}e^{b}=e^{a+b}\$

που ισχύουν για κάθε μιγαδικό αριθμό a και b. Συνεπώς κάποιος μπορεί να γράψει

$z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\$

για κάθε z ≠ 0. Εφαρμόζοντας λογάριθμο και στα δύο μέλη παίρνουμε

$\ln z=\ln |z|+i\phi \ ,$

σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο λoγάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μία συνάρτηση που λαμβάνει πολλές τιμές, επειδή το ϕ παίρνει και αυτό πολλές τιμές. Τέλος από τον εκθετικό νόμο

$(e^{a})^{k}=e^{ak}\ ,$

που ισχύει για κάθε ακέραιο k, μαζί με τον τύπο του Όιλερ, μπορούν να προκύψουν πολλές τριγωνομετρικές ταυτότητες όπως επίσης και ο τύπος του de Moivre.

Σχέση με την τριγωνομετρία

Σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημιτόνου και εκθετικής συνάρτησης

Ο τύπος του Όιλερ μάς παρέχει μια ισχυρή σχέση μεταξύ της ανάλυσης και της τριγωνομετρίας, ενώ προσδίδει μία ερμηνεία των συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημιτόνου ως σταθμισμένα αθροίσματα της εκθετικής συνάρτησης:

${\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}$

Οι παραπάνω δύο εξισώσεις μπορούν να εξαχθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους παρακάτω τύπους του Όιλερ:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\;\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;\end{aligned}}$

και λύνοντας είτε ως προς συνημίτονο είτε ως προς ημίτονο.

Οι τύποι αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με μιγαδικά ορίσματα x. Για παράδειγμα, έστω x = iy, τότε έχουμε:

${\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}$

Τα μιγαδικά εκθετικά μπορούν να απλοποιήσουν την τριγωνομετρία, διότι είναι πιο εύκολα στο χειρισμό από ότι οι ημιτονοειδείς τους συνιστώσες. Μία τεχνική είναι απλώς να μετατρέψουμε τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις σε ισοδύναμες εκφράσεις σαν συνάρτηση εκθετικών. Μετά από πράξεις το αποτέλεσμα είναι ακόμα πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα:

${\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}$

Μία άλλη τεχνική είναι να παραστήσουμε τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις εκφρασμένες σαν το πραγματικό μέρος μιας μιγαδικής έκφρασης και να εκτελέσουμε τις πράξεις στη μιγαδική έκφραση. Για παράδειγμα :

${\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}$

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για αναδρομικό υπολογισμό του cos(nx) για ακέραιες τιμές του n και αυθαίρετο x (σε ακτίνια).

Βλέπε επίσης αριθμητική των στρεφόμενων διανυσμάτων.

Τοπολογική ερμηνεία

Στη γλώσσα της τοπολογίας ο τύπος του Όιλερ δηλώνει ότι η φανταστική εκθετική συνάρτηση $t\mapsto e^{it}$ είναι ένας (επιρριπτικός) μορφισμός των τοπολογικών ομάδων από την ευθεία των πραγματικών αριθμών ℝ στο μοναδιαίο κύκλο $\mathbb {S} ^{1}$. Στην πραγματικότητα, αυτό αναδεικνύει το ℝ ως χώρο κάλυψης του $\mathbb {S} ^{1}$. Ομοίως, η ταυτότητα του Euler λέει ότι ο πυρήνας της απεικόνισης είναι $\tau \mathbb {Z}$, όπου $\tau =2\pi$. Οι παρατηρήσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν και να συνοψιστούν από ένα μεταθετικό διάγραμμα.

Άλλες εφαρμογές

Στις διαφορικές εξισώσεις η συνάρτηση e^ix χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει την εξαγωγή σχέσεων ακόμα και αν ο τελικός τύπος είναι μία πραγματική συνάρτηση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι η ιδιοσυνάρτηση της παραγώγισης. Η ταυτότητα του Όιλερ είναι απλή συνέπεια του τύπου του Όιλερ.

Στην ηλεκτρονική μηχανική και σε άλλα πεδία, τα σήματα που μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο συχνά περιγράφονται σαν ένας συνδυασμός συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέπε ανάλυση Fourier), τις οποίες μας διευκολύνει να εκφράσουμε ως το πραγματικό μέρος εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες χρησιμοποιώντας τον τύπο του Όιλερ. Επίσης, η ανάλυση σε στρεφόμενα διανύσματα μπορεί να συμπεριλάβει τον τύπο του Όιλερ για να αναπαραστήσει την εμπέδηση ενός πυκνωτή ή ενός πηνίου.

Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης

Η εκθετική συνάρτηση e^x για πραγματικές τιμές του x μπορεί να οριστεί με μερικούς διαφορετικούς ισοδύναμους τρόπους. Αρκετές από αυτές τις μεθόδους μπορούν ευθέως να επεκταθούν για να δώσουν ορισμούς του e^z για μιγαδικές τιμές του z απλώς αντικαθιστώντας το z στη θέση του x και χρησιμοποιώντας μιγαδικές αλγεβρικές πράξεις. Συγκεκριμένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν οποιοδήποτε από τους παρακάτω δύο ορισμούς που είναι ισοδύναμοι. Από μία πιο προχωρημένη οπτική, καθένας από τους ορισμούς μπορεί να ερμηνευτεί ότι μας δίνει αναλυτική επέκταση κατά μοναδικό τρόπο του e^x στο μιγαδικό επίπεδο.

Ορισμός μέσω δυναμοσειράς

Για μιγαδικό z ισχύει ότι:

$e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι η συγκεκριμένη δυναμοσειρά έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης, και κατά συνέπεια η συνάρτηση e^z ορίζεται για κάθε μιγαδικό z.

Ορισμός μέσω ορίου

Για μιγαδικό z ισχύει ότι:

$e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}~.$

Αποδείξεις

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απόδειξης του τύπου του Όιλερ.

Με χρήση δυναμοσειράς

Παρακάτω θα παραθέσουμε μία απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σειρά Τέιλορ καθώς και βασικά αποτελέσματα όσον αφορά τις δυνάμεις του i:

${\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}$

και ούτω καθεξής. Κάνοντας χρήση του ορισμού ανάπτυξης του εκθετικού σε δυναμοσειρά που δώσαμε παραπάνω βλέπουμε ότι για πραγματικές τιμές τουx

${\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}$

Στο τελευταίο βήμα απλώς αναγνωρίσαμε τη σειρά Maclaurin για τις συναρτήσεις cos(x) και sin(x). Η αναδιάταξη των όρων δικαιολογείται λόγω της απόλυτης σύγκλισης κάθε σειράς.

Με χρήση λογισμού

Μία άλλη απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν σε πολικές συντεταγμένες. Κατά συνέπεια για κάποια r και θ που εξαρτώνται από το x έχουμε,

$e^{ix}=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))\,.$

Τώρα από καθένα από τους ορισμούς της εκθετικής συνάρτησης μπορεί να δειχθεί ότι η παράγωγος του e^ix είναι ie^ix. Με αυτό υπόψη και παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης παίρνουμε

$ie^{ix}=(\cos(\theta )+i\sin(\theta )){\frac {dr}{dx}}+r(-\sin(\theta )+i\cos(\theta )){\frac {d\theta }{dx}}\,.$

Αντικαθιστώντας όπου $r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$ το $e^{ix}$ και εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη προκύπτει $\textstyle {\frac {dr}{dx}}=0$ και $\textstyle {\frac {d\theta }{dx}}=1$. Μαζί με τις αρχικές τιμές $r(0)=1$ και $\theta (0)=0$ που προέρχονται από το $e^{i0}=1$ παίρνουμε $r=1$ και $\theta =x$. Αυτό αποδεικνύει τον τύπο $e^{ix}=1(\cos(x)+i\sin(x))$.